Baur wurde 1986 Tennisprofi und konnte im Jahr darauf in Fürth sein erstes Challenger-Turnier gewinnen. 1988 gewann er in Båstad an der Seite von Udo Riglewski seinen ersten Doppeltitel auf der ATP World Tour durch einen Finalsieg über Stefan Edberg und Nicklas Kroon. Zudem errang er den Einzeltitel beim Challenger-Turnier von Martinique, gewann mit Udo Riglewski den Doppeltitel des Challenger-Turniers von Valkenswaard und stand zusammen mit Alexander Mronz im Finale des ATP-Turniers von Tel Aviv. Im darauf folgenden Jahr konnte er den Doppeltitel von Tel Aviv gewinnen, diesmal zusammen mit Jeremy Bates. Dies war sein zweiter und letzter Doppeltitel auf der ATP World Tour. Einen weiteren Einzeltitel auf der Challenger-Tour errang er im selben Jahr in Manchester. 1991 wurde sein erfolgreichstes Jahr, er konnte zwei Einzeltitel auf der ATP World Tour gewinnen. Im brasilianischenGuarujá besiegte er im Finale Fernando Roese, in Seoul war er gegen Jeff Tarango erfolgreich. 1992 stand er in Taipei letztmals in einem ATP-Doppelfinale, unterlag jedoch an der Seite von Christo Van Rensburg gegen die AustralierSandon Stolle und John Fitzgerald. Seine höchste Notierung in der Tennis-Weltrangliste erreichte er 1991 mit Position 74 im Einzel sowie 1989 mit Position 64 im Doppel.
Sein bestes Einzelergebnis bei einem Grand Slam-Turnier war das Erreichen der dritten Runde von Wimbledon 1995. In der Doppelkonkurrenz stieß er 1989 bei den Australian Open und den French Open in die dritte Runde vor.
Baur war mit dem TC Blau-Weiss Neuss vier Mal Deutscher Mannschaftsmeister, sowie drei Mal Deutscher Vizemeister und einmal Vize-Europameister.[1]
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